17 2月

远期与期货定价

一、无套利定价理论

 

无套利定价理论被用在均衡市场上不存在套利机会的金融资产定价。其基本思想是,在有效金融市场上,任何一项金融资产的定价,应当使得利用该项金融资产进行套利的机会不复存在。

【均衡市场】供给与需求双方处于平衡状态,在双方力量相互制约下稳定、均衡运行的市场。
【有效市场假说】EMH,Efficient Market Hypothesis,最初是由Fama在1970年提出的。Fama认为,当证券价格能够充分地反映投资者可以获得的信息时,证券市场就是有效市场,即在有效市场中,无论随机选择何种证券,投资者都只能获得与投资风险相当的正常收益率。

在无套利市场上,如果两种金融资产未来的现金流完全相同(称为互为复制),则当前的价格必相同。否则,当两项资产的价格存在差异时,那么投资者可以通过“高卖低买”或“低买高卖”获取无风险收益,存在套利机会。如果市场是有效的话,市场价格必然由于套利行为作出相应的调整,重新回到均衡的价格状态,达到无套利的价格。

【现金流】一定时期的现金和现金等价物的流入和流出的数量。

如某市场参与者希望在$T$时获得1单位该资产,可采用以下两种组合产品达到投资目标。

组合产品$A$:持有合约价格为${F_0}$的1单位期货多头,同时将${F_0}{e^{ – rT}}$资金按照无风险利率$r$贷出(即该资金在$T$时点会变为${F_0}$);

组合产品$B$:购买1单位资产${S_0}$,持有到期日为$T$。

在到期日$T$,无论标的的资产处于何种状态,组合产品$A$中的期货合约交割,获得1单位资产,该结果和组合产品$B$相同,依据无套利定价思想,在合约期初,二者的价格相等,即$0 + {F_0}{e^{ – rT}} = {S_0}$,即得${F_0} = {S_0}{e^{  rT}}$。

如果市场价格与理论价格不一致,则在有效市场中存在着套利机会。假设${F_0} > {S_0}{e^{rT}}$,则市场参与者愿意借入${S_0}$现金买入1单位标的资产,同时持有1单位标的资产期货空头,在到期日$T$时,交割期货头寸,可以盈利${F_0} – {S_0}{e^{rT}}$。这种盈利促使市场中的套利者不断重复这种操作,直到${F_0} = {S_0}{e^{rT}}$,套利机会消失为止。

【连续复利计算公式】复利是指每年的收益还可以产生收益,具体是将整个借贷期限分割为若干段,前一段按本金计算出的利息要加入到本金中,形成增大了的本金,作为下一段计算利息的本金基数,直到每一段的利息都计算出来,加总之后,就得出整个借贷期内的利息;而连续复利则是指在期数趋于无限大的极限情况下得到的利率,此时不同期之间的间隔很短,可以看作是无穷小量。

设本金为${P_0}$,年利率为$r$,当每年含有$m$个复利结算周期(若一个月为一个复利结算周期,则$m = 12$,若以一季度为一个复利结算周期,则$m = 4$)时,则$n$年后的本利和为:

$${P_{nm}} = {P_0}{(1 + \frac{r}{m})^{nm}} = {P_0}{(1 + \frac{r}{m})^{\frac{1}{{r/m}}nr}}$$

当复利的结算周期数$m \to \infty $(这意味着资金运用率最大限度的提高)时,${(1 + \frac{r}{m})^{\frac{1}{{r/m}}}}$的极限为$e$,即

$$\mathop {\lim }\limits_{m \to \infty } {(1 + \frac{r}{m})^{\frac{1}{{r/m}}}} = 2.7182818284590… = e$$

所以当$m \to \infty $连续复利本利和公式为:

$${P_n} = \mathop {\lim }\limits_{m \to \infty } {P_0}{(1 + \frac{r}{m})^{nm}} = {P_0}\mathop {\lim }\limits_{m \to \infty } {[{(1 + \frac{r}{m})^{\frac{1}{{r/m}}}}]^{nr}} = {P_0}{e^{nr}}$$

即:${P_n} = {P_0}{e^{nr}}$

式中${e^{nr}}$成为瞬间复利系数。

 

二、持有成本理论

 

康奈尔(Cornell)和弗仑奇(French)1983年提出的持有成本理论(Cost of Carry Model)认为,现货价格和期货价格的差(持有成本)由三部分组成:融资利息、仓储费用和持有收益。该理论以商品持有(仓储)为中心,分析期货市场的机制,论证期货交易对供求关系产生的积极影响,并逐渐运用到对金融期货的定价上。

该模型的基本假设如下:

(1)借贷利率相同且维持不变;

(2)无信用风险,即无远期合约的违约风险及期货合约的保证金结算风险;

(3)无税收和交易成本;

(4)基础资产可以无限分割;

(5)基础资产卖空无限制;

(6)期货和现货头寸均持有到期货合约到期日。

在上述假设条件下,期货价格形式如下:$$F = S + W – R$$

$F$表示期货价格,$S$表示现货价格,$W$表示持有成本,$R$表示持有收益。持有成本包括购买基础资产所占用资金的利息成本、持有基础资产所花费的存储费用、保险费用等。持有收益指基础资产给其持有者带来的收益,如股票的股利、债券与外汇的利息,以及实物商品的便利收益等。

【便利收益】当现货对期货产生风险溢价时,投资者持有现货的可能收益。

对于消费类资产的商品远期或期货,由于消费品持有者往往注重消费,即使在期货价格偏低的情况下,持有者也不会卖空现货。因此,上述定价公式一般满足:$$F < S + W – R$$

 

三、远期和期货定价分析

 

(一)完全市场假设下的远期价格

1.权益资产的远期价格

(1)不支付红利的标的资产场合。权益类标的资产通常为单个股票或股票指数。不支付红利的标的资产没有持有收益,持有成本也只包括购买标的资产所需资金的利息成本,因此其远期价格定价公式最简单:

$$F = S{e^{rt}}$$

其中,$F$为远期价格(期货价格),$S$为现货价格,$t$为交付时间,$r$为无风险连续利率。以复利计算,经过$t$期,股票现货的价格即为$S{e^{rt}}$。

(2)已知支付现金红利的标的资产场合。设在t期间,所有支付的现金红利在初始时点的折现值之和为$D$。此时远期价格定价公式转化为:$$F= (S – D){e^{rt}}$$

(3)已知支付连续红利率的标的资产场合。设标的资产支付的连续红利率为$q$,此时远期价格定价公式为:$$F = S{e^{(r – q)t}}$$

例1:某投资者签订了一份期限为9个月的沪深300指数远期合约,该合约签订时沪深300指数为3000点,年股息连续收益率为3%,无风险连续利率为6%,则该远期合约的理论点位为多少?

合约签订时刻该远期合约的理论点位为:

$F= S{e^{(r – q)t}} = 3000 \times {e^{(6\%  – 3\% ) \times 9/12}} \approx 3068.27$

2.国债期货的定价

短期国债期货标的资产通常是零息债券,没有持有收益,持有成本也只包括购买国债所需资金的利息成本,因此,其期货定价公式与不支付红利的标的资产定价公式一致:

$$F = S{e^{rt}}$$

中长期国债期货标的资产通常是付息票的名义债券,符合持有收益情形,设付息票债券定期支付利息在初始时点的现值为${C_0}$,其定价公式为:$$F = (S – C){e^{rt}}$$

例2:某国债券期合约270天后到期,其标的债券为中期国债,当前净报价为98.36元,息票率为6%,每半年付息一次。上次付息时间为60天前,下次付息为122天以后,再下次付息为305天以后。无风险连续利率为8%,则该国债远期的利率价格为多少?

该国债理论价格为:

$S= 98.36 + \frac{{60}}{{60 + 122}} \times 3 \approx 99.35$(元)

【应计利息(accrued interest)】在美国和世界许多地方,多数债券是息票债券,即债券按面值出售,一年在固定的时间支付两次利息。这样,债券的投资者在非付息日出售债券时,会碰到自上次付息日到今日的利息如何算的问题。债券的购买者除了应该支付债券的价格外,还应支付从上次付息日到购买日的利息,这段时间的利息是出售债券方应得的,但是在金融行情中提供的债券价格不包括这一部分利息,而在股票价格中是包括应计股息的。

该国债在270天内付息的现值为:

$C{\rm{ = 3}} \times {e^{ – 8\%  \times 122/365}} \approx 2.92$(元)

该国债远期理论价格为:

$F = (S – C){e^{rt}} = (99.35 – 2.92) \times {e^{8\%  \times 270/365}} \approx 102.31$(元)

3、商品期货的定价

商品往往存在储存成本和便利收益。设储存成本率为$s$(按连续复利),便利收益率为$c$(按连续复利)。商品期货的定价公式为:$$F = S{e^{(r + s – c)t}}$$

例3:假设某螺纹钢期货还有90天到期,目前螺纹钢现货价格为每吨2200元,无风险连续利率为8%,储存成本为2%,便利收益率为3%,则该螺纹钢期货的理论价格是多少?

该螺纹钢期货的理论价格为:

$F = S{e^{(r + s – c)t}} = 2200 \times {e^{(8\%  + 2\%  – 3\% ) \times 3/12}} \approx 2238.84$(元)

4.外汇期货的定价

外汇期货的标的资产为为外汇,一般而言,持有收益率是该外汇发行过的无风险连续利率${r_f}$。本国无风险连续利率为${r_d}$。直接标价法下,远期汇率$F$和即期汇率$S$的关系表示为:$$F = S{e^{({r_d} – {r_f})t}}$$

例4:假设美元兑英镑的外汇期货合约距到期日还有6个月,当前美元兑英镑即期汇率为1.5USD/GBP,而美元和英国的无风险利率分别是3%和5%,则该外汇期货合约的理论价格(远期汇率)是多少?

远期汇率为:

$F = S{e^{(r – {r_f})t}} = 1.5 \times {e^{(3\%  – 5\% ) \times 6/12}} \approx 1.485$(USD/GBP)

 

(二)不完全市场假设下的期货定价

持有成本模型的以上结论都是在完全市场的假设下得出的,现实中,完全市场的一些假设无法得到满足,持有成本模型将会从定价公式变为定价区间。下面以不支付红利的权益类资产的期货定价为例进行说明。

1.存在交易成本

假定每笔交易的费率为$Y$,那么期货的价格区间为:

$$ [S(1 – Y){e^{rt}},S(1 + Y){e^{rt}}]$$

这个区间又称为无套利区间,当期货的实际价格高于区间上限时,可以买入现货同时卖出期货进行套利;同理,当期货的实际价格低于区间下限时,可以买入期货同时卖出现货进行套利。

2.借贷利率不同

设借款利率为${r_b}$,贷款利率为${r_l}$,对非银行机构的一般投资者来说,通常${r_b} > {r_l}$,那么期货的价格区间为:

$$ [S(1 – Y){e^{{r_l}t}},S(1 + Y){e^{{r_b}t}}]$$

当现货资产存在卖空限制时,设卖空现货需要的保证金是卖空量的一个固定比例$K$,那么期货的价格区间为:

$$ [(1 – K)S(1 – Y){e^{{r_l}t}},S(1 + Y){e^{{r_b}t}}]$$

【借款与贷款区别】主要区别在于,借款多用于民间借贷,利率较高,贷款多用于银行方面,利率较低。

例5:假设黄金现货价格为500美元,借款利率为8%,贷款利率为6%,交易费率为5%,卖空黄金的保证金12%。求1年后交割的黄金期货的价格区间。

价格区间下限为:

$(1 – K)S(1 – Y){e^{{r_l}t}} = (1 – 12\% ) \times 500 \times (1 – 5\% ) \times {e^{0.06}} \approx 443.85$(美元)

价格区间上限为:

$S(1 + Y){e^{{r_b}t}} = 500 \times (1 + 5\% ) \times {e^{0.08}} \approx 568.73$(美元)

价格区间为(443.85,568.73)。

 

One thought on “远期与期货定价

  1. 想知道这里怎么算出来的。。。。
    e(6%–3%)×9/12
    (6%–3%)×9/12=0.0225. 是说e的0.0225次方吗?
    谢谢

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