一、无套利定价理论

无套利定价理论被用在均衡市场上不存在套利机会的金融资产定价。其基本思想是，在有效金融市场上，任何一项金融资产的定价，应当使得利用该项金融资产进行套利的机会不复存在。

在无套利市场上，如果两种金融资产未来的现金流完全相同（称为互为复制），则当前的价格必相同。否则，当两项资产的价格存在差异时，那么投资者可以通过“高卖低买”或“低买高卖”获取无风险收益，存在套利机会。如果市场是有效的话，市场价格必然由于套利行为作出相应的调整，重新回到均衡的价格状态，达到无套利的价格。

如某市场参与者希望在$T$时获得1单位该资产，可采用以下两种组合产品达到投资目标。

组合产品$A$：持有合约价格为${F_0}$的1单位期货多头，同时将${F_0}{e^{ – rT}}$资金按照无风险利率$r$贷出（即该资金在$T$时点会变为${F_0}$）；

组合产品$B$：购买1单位资产${S_0}$，持有到期日为$T$。

在到期日$T$，无论标的的资产处于何种状态，组合产品$A$中的期货合约交割，获得1单位资产，该结果和组合产品$B$相同，依据无套利定价思想，在合约期初，二者的价格相等，即$0 + {F_0}{e^{ – rT}} = {S_0}$，即得${F_0} = {S_0}{e^{  rT}}$。

如果市场价格与理论价格不一致，则在有效市场中存在着套利机会。假设${F_0} > {S_0}{e^{rT}}$，则市场参与者愿意借入${S_0}$现金买入1单位标的资产，同时持有1单位标的资产期货空头，在到期日$T$时，交割期货头寸，可以盈利${F_0} – {S_0}{e^{rT}}$。这种盈利促使市场中的套利者不断重复这种操作，直到${F_0} = {S_0}{e^{rT}}$，套利机会消失为止。

二、持有成本理论

康奈尔（Cornell）和弗仑奇（French）1983年提出的持有成本理论（Cost of Carry Model）认为，现货价格和期货价格的差（持有成本）由三部分组成：融资利息、仓储费用和持有收益。该理论以商品持有（仓储）为中心，分析期货市场的机制，论证期货交易对供求关系产生的积极影响，并逐渐运用到对金融期货的定价上。

该模型的基本假设如下：

（1）借贷利率相同且维持不变；

（2）无信用风险，即无远期合约的违约风险及期货合约的保证金结算风险；

（3）无税收和交易成本；

（4）基础资产可以无限分割；

（5）基础资产卖空无限制；

（6）期货和现货头寸均持有到期货合约到期日。

在上述假设条件下，期货价格形式如下：$$F = S + W – R$$

$F$表示期货价格，$S$表示现货价格，$W$表示持有成本，$R$表示持有收益。持有成本包括购买基础资产所占用资金的利息成本、持有基础资产所花费的存储费用、保险费用等。持有收益指基础资产给其持有者带来的收益，如股票的股利、债券与外汇的利息，以及实物商品的便利收益等。

对于消费类资产的商品远期或期货，由于消费品持有者往往注重消费，即使在期货价格偏低的情况下，持有者也不会卖空现货。因此，上述定价公式一般满足：$$F < S + W – R$$

三、远期和期货定价分析

（一）完全市场假设下的远期价格

1.权益资产的远期价格

（1）不支付红利的标的资产场合。权益类标的资产通常为单个股票或股票指数。不支付红利的标的资产没有持有收益，持有成本也只包括购买标的资产所需资金的利息成本，因此其远期价格定价公式最简单：

$$F = S{e^{rt}}$$

其中，$F$为远期价格（期货价格），$S$为现货价格，$t$为交付时间，$r$为无风险连续利率。以复利计算，经过$t$期，股票现货的价格即为$S{e^{rt}}$。

（2）已知支付现金红利的标的资产场合。设在t期间，所有支付的现金红利在初始时点的折现值之和为$D$。此时远期价格定价公式转化为：$$F= (S – D){e^{rt}}$$

（3）已知支付连续红利率的标的资产场合。设标的资产支付的连续红利率为$q$，此时远期价格定价公式为：$$F = S{e^{(r – q)t}}$$

例1：某投资者签订了一份期限为9个月的沪深300指数远期合约，该合约签订时沪深300指数为3000点，年股息连续收益率为3%，无风险连续利率为6%，则该远期合约的理论点位为多少？

合约签订时刻该远期合约的理论点位为：

$F= S{e^{(r – q)t}} = 3000 \times {e^{(6\%  – 3\% ) \times 9/12}} \approx 3068.27$

2.国债期货的定价

短期国债期货标的资产通常是零息债券，没有持有收益，持有成本也只包括购买国债所需资金的利息成本，因此，其期货定价公式与不支付红利的标的资产定价公式一致：

$$F = S{e^{rt}}$$

中长期国债期货标的资产通常是付息票的名义债券，符合持有收益情形，设付息票债券定期支付利息在初始时点的现值为${C_0}$，其定价公式为：$$F = (S – C){e^{rt}}$$

例2：某国债券期合约270天后到期，其标的债券为中期国债，当前净报价为98.36元，息票率为6%，每半年付息一次。上次付息时间为60天前，下次付息为122天以后，再下次付息为305天以后。无风险连续利率为8%，则该国债远期的利率价格为多少？

该国债理论价格为：

$S= 98.36 + \frac{{60}}{{60 + 122}} \times 3 \approx 99.35$（元）

该国债在270天内付息的现值为：

$C{\rm{ = 3}} \times {e^{ – 8\%  \times 122/365}} \approx 2.92$（元）

该国债远期理论价格为：

$F = (S – C){e^{rt}} = (99.35 – 2.92) \times {e^{8\%  \times 270/365}} \approx 102.31$（元）

3、商品期货的定价

商品往往存在储存成本和便利收益。设储存成本率为$s$（按连续复利），便利收益率为$c$（按连续复利）。商品期货的定价公式为：$$F = S{e^{(r + s – c)t}}$$

例3：假设某螺纹钢期货还有90天到期，目前螺纹钢现货价格为每吨2200元，无风险连续利率为8%，储存成本为2%，便利收益率为3%，则该螺纹钢期货的理论价格是多少？

该螺纹钢期货的理论价格为：

$F = S{e^{(r + s – c)t}} = 2200 \times {e^{(8\%  + 2\%  – 3\% ) \times 3/12}} \approx 2238.84$（元）

4.外汇期货的定价

外汇期货的标的资产为为外汇，一般而言，持有收益率是该外汇发行过的无风险连续利率${r_f}$。本国无风险连续利率为${r_d}$。直接标价法下，远期汇率$F$和即期汇率$S$的关系表示为：$$F = S{e^{({r_d} – {r_f})t}}$$

例4：假设美元兑英镑的外汇期货合约距到期日还有6个月，当前美元兑英镑即期汇率为1.5USD/GBP，而美元和英国的无风险利率分别是3%和5%，则该外汇期货合约的理论价格（远期汇率）是多少？

远期汇率为：

$F = S{e^{(r – {r_f})t}} = 1.5 \times {e^{(3\%  – 5\% ) \times 6/12}} \approx 1.485$（USD/GBP）

（二）不完全市场假设下的期货定价

持有成本模型的以上结论都是在完全市场的假设下得出的，现实中，完全市场的一些假设无法得到满足，持有成本模型将会从定价公式变为定价区间。下面以不支付红利的权益类资产的期货定价为例进行说明。

1.存在交易成本

假定每笔交易的费率为$Y$，那么期货的价格区间为：

$$ [S(1 – Y){e^{rt}},S(1 + Y){e^{rt}}]$$

这个区间又称为无套利区间，当期货的实际价格高于区间上限时，可以买入现货同时卖出期货进行套利；同理，当期货的实际价格低于区间下限时，可以买入期货同时卖出现货进行套利。

2.借贷利率不同

设借款利率为${r_b}$，贷款利率为${r_l}$，对非银行机构的一般投资者来说，通常${r_b} > {r_l}$，那么期货的价格区间为：

$$ [S(1 – Y){e^{{r_l}t}},S(1 + Y){e^{{r_b}t}}]$$

当现货资产存在卖空限制时，设卖空现货需要的保证金是卖空量的一个固定比例$K$，那么期货的价格区间为：

$$ [(1 – K)S(1 – Y){e^{{r_l}t}},S(1 + Y){e^{{r_b}t}}]$$

例5：假设黄金现货价格为500美元，借款利率为8%，贷款利率为6%，交易费率为5%，卖空黄金的保证金12%。求1年后交割的黄金期货的价格区间。

价格区间下限为：

$(1 – K)S(1 – Y){e^{{r_l}t}} = (1 – 12\% ) \times 500 \times (1 – 5\% ) \times {e^{0.06}} \approx 443.85$（美元）

价格区间上限为：

$S(1 + Y){e^{{r_b}t}} = 500 \times (1 + 5\% ) \times {e^{0.08}} \approx 568.73$（美元）

价格区间为（443.85，568.73）。